Крыловские и рациональные крыловские методы численного решения некоторых задач вычислительной геофизики
https://doi.org/10.18303/2619-1563-2024-1-29
Аннотация
Решения многих дискретизированных по пространству задач, связанных с вычислительной геофизикой, представляются в виде 𝑢 = 𝑓(𝐴)𝜑, где 𝐴 ∈ 𝑹𝑁×𝑁, 𝜑 ∈ 𝑹𝑁, 𝑓 – функция. Мы рассматриваем аппроксимации к 𝑢 на основе подхода Галёркина для полиномиальных и рациональных подпространств Крылова. Мы описываем соответствующие вычислительные методы – метод Ланцоша и рациональный метод Арнольди, а также их приложение к решению некоторых задач вычислительной геофизики (из области электрокаротажа, термокаротажа, электроразведки). Цель этой обзорной статьи – научить читателя применять описанные здесь методы к его прикладным задачам.
Ключевые слова
При поддержке: Работа поддержана Отделением Московского центра фундаментальной и прикладной математики в ИВМ РАН (соглашение 075-15-2022-286 с Министерством науки и высшего образования Российской Федерации).
Об авторе
Л. А. Книжнерман
Институт вычислительной математики РАН им. Г.И. Марчука
Россия
Россия
КНИЖНЕРМАН Леонид Аронович – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник,
119333, Москва, ул. Губкина, 8.
Список литературы
1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1974. 296 с.
2. Гончар А.А. О задачах Е. И. Золотарева, связанных с рациональными функциями // Математический сборник. 1969. T. 78, № 4. С. 640–654.
3. Гончар А.А. О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций // Математический сборник. 1978. Т. 105, № 2. С. 147–163.
4. Друскин В.Л., Книжнерман Л.А. Спектральный дифференциально-разностный метод численного решения трехмерных нестационарных задач электроразведки // Известия АН СССР. Физика Земли. 1988. № 8. С. 63–74.
5. Друскин B.Л., Книжнерман Л.А. Два полиномиальных метода вычисления функций от симметричных матриц // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1989. T. 29, № 12. С. 1763–1775.
6. Друскин B.Л., Книжнерман Л.А. Оценки ошибок в простом процессе Ланцоша при вычислении функций от симметричных матриц и собственных значений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 31, № 7. С. 970–983.
7. Оселедец И.В. Оценки снизу для сепарабельных аппроксимаций ядра Гильберта // Математический сборник. 2007. Т. 198, № 3. С. 137–144. doi: 10.4213/sm1530.
8. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983. 384 с.
9. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983. 384 с.
10. Baglama J., Calvetti D., Reichel L. Fast Leja points // ETNA (electronic only). 1998. Vol. 7. P. 124–140. https://www.emis.de/journals/ETNA/vol.7.1998/pp124-140.dir/pp124-140.pdf.
11. Beckermann B., Reichel L. Error estimates and evaluation of matrix functions via the Faber transform // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2009. Vol. 47 (5). P. 3849–3883. doi: 10.1137/080741744.
12. Druskin V., Knizhnerman L. The Lanczos optimization of a splitting-up method to solve homogeneous evolutionary equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1992. Vol. 42 (2). P. 221–231. doi: 10.1016/0377-0427(92)90076-A.
13. Druskin V., Knizhnerman L. Extended Krylov subspaces: approximation of the matrix square root and related functions // SIAM Journal on Matrix Analysis and Application. 1998. Vol. 19 (3). P. 755–771. doi: 10.1137/S0895479895292400.
14. Druskin V.L., Knizhnerman L.A., Ping Lee. New spectral Lanczos decomposition method for induction modeling in arbitrary 3-D geometry // Geophysics. 1999. Vol. 64 (3). P. 701–706. doi: 10.1190/1.1444579.
15. Druskin V., Knizhnerman L., Zaslavsky M. Solution of large scale evolutionary problems using rational Krylov subspaces with optimized shifts // SIAM Journal on Scientific Computing. 2009. Vol. 31 (5). P. 3760–3780. doi: 10.1137/080742403.
16. Druskin V., Lieberman C., Zaslavsky M. On adaptive choice of shifts in rational Krylov subspace reduction of evolutionary problems // SIAM Journal on Scientific Computing. 2010. Vol. 32. P. 2485–2496. doi: 10.1137/090774082.
17. Greenbaum A. Behavior of slightly perturbed Lanczos and conjugate-gradient recurrences // Linear Algebra and its Applications. 1989. Vol. 113. P. 7–63. doi: 10.1016/0024-3795(89)90285-1.
18. Knizhnerman L., Druskin V., Zaslavsky M. On optimal convergence rate of the Rational Krylov Subspace Reduction for electromagnetic problems in unbounded domains // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2009. Vol. 47 (2). P. 953–971. doi: 10.1137/080715159.
19. Le Bailly B., Thiran J.P. Optimal rational functions for the generalized Zolotarev problem in the complex plane // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2000. Vol. 38 (5). P. 1409–1424. doi: 10.1137/S003614299936068.
20. Leja F. Sur certaines suits liées aux ensemble plan et leur application à la représentation conforme // Annales Polonici Mathematici. 1957. Vol. 4 (1). P. 8–13.
21. Ruhe A. The rational Krylov algorithm for nonsymmetric eigenvalue problems. III: Complex shifts for real matrices // BIT Numerical Mathematics. 1994. Vol. 34. P. 165–176. doi: 10.1007/BF01935024.
22. Saff E.B., Totik V. Logarithmic potentials with external fields. Springer Berlin, Heidelberg, 1997. 505 p. doi: 10.1007/978-3-662-03329-6.
23. Simoncini V. A new iterative method for solving large-scale Lyapunov matrix equations // SIAM Journal on Science Computing. 2007. Vol. 29 (3). P. 1268–1288. doi: 10.1137/06066120X.
24. Tyrtyshnikov E.E. Mosaic-skeleton approximations // Calcolo. 1996. Vol. 33. P. 47–57. doi: 10.1007/BF02575706.
Рецензия
Для цитирования:
Книжнерман Л.А. Крыловские и рациональные крыловские методы численного решения некоторых задач вычислительной геофизики. Геофизические технологии. 2024;(1):29-46. https://doi.org/10.18303/2619-1563-2024-1-29
For citation:
Knizhnerman L.A. Krylov and rational Krylov methods of numerical solution of some problems of computational geophysics. Russian Journal of Geophysical Technologies. 2024;(1):29-46. (In Russ.) https://doi.org/10.18303/2619-1563-2024-1-29
Просмотров:
164
Послать статью по эл. почте 